Question

函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

)部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间x∈[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由图可得A=1，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，所以T=π．（2分）
所以ω=2．
当x=

π

6

时，f（x）=1，可得sin(2•

π

6

+φ)=1，
因为|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．（5分）
所以f（x）的解析式为f(x)=sin(2x+

π

6

)．（6分）
（Ⅱ）g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+

π

6

)-cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．（10分）
因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，g（x）有最大值，最大值为1；
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，g（x）有最小值，最小值为-

1

2

．（13分）