Question

已知数{a_n}的前n项和为S_n，且满S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（3）b_n=na_n，求数{b_n}的前n项T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令n=1，2，3代入，计算可得数列的值；
（2）由S_n=2a_n-n，可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），两式相减易得；
（3）由（2）可得b_n=n•2ⁿ-n，分别由错位相减法和等差数列的求和公式可得答案．
解答：解：（1）因为S_n=2a_n-n，令n=1，解得a₁=1，
分别再令n=2，n=3，可解得a₂=3，a₃=7；
（2）因为n＞1，n∈N），
两式相减可得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2，所以{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列；
（3）因为{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以a_n=2ⁿ-1，
因为b_n=na_n，所以b_n=n•2ⁿ-n，
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令H_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ     （1）
则2H_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹     （2）
（1）-（2）得：-H_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
==（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，故H_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-
点评：本题考查数列的求和，涉及等比关系的确定和错位相减法求和，属中档题．