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(本小题满分13分)
设函数yf(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意xy∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1f(1)+1,f(-)+f(+)=0.设Snaaaaaa+…+aaaa.
(1)求数列{an}的通项公式,并求Sn关于n的表达式;
(2)设函数g(x)对任意xy都有:g(xy)=g(x)+g(y)+2xy,若g(1)=1,正项数列{bn}满足:bg(),Tn为数列{bn}的前n项和,试比较4SnTn的大小.
(1)an= . Sn=[1-].
(2)4Sn<Tn.
解:(1)当xy∈(0,+∞)时,有f(xy)=f(x)+f(y),
xy=1得f(1)=2f(1),得f(1)=0,所以a1f(1)+1=1.(1分)
因为f(-)+f(+)=0,所以f(-)=0=f(1).
又因为yf(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以-=1,即-=4,(3分)
所以数列{}是以1为首项,4为公差的等差数列,所以=4n-3,所以an= .
aa==[-],
Sn=[-+-+…+-]=[1-].(5分)
(2)由于任意xy∈R都有g(xy)=g(x)+g(y)+2xy,则g(2x)=2g(x)+2x2
g(1)=2g()+2·()2=2[2g()+2·()2]+=22g()++
=22[2g()+2·()2]++=23g()+++
=…=2ng()++++…++=1,
g()=,即b=.
bn>0,∴bn=,(9分)
Tn=++…+=1-,又4Sn=1-.
n=1,2,3,4时,4n+1>2n,∴4Sn>Tn;(10分)
n≥5时,2n=C+C+C+…+C+C>1+2n+2=1+n2n.
n2n+1-(4n+1)=n2-3nn(n-3)>0,故4Sn<Tn.(13分)
(用数学归纳法证明参照计分)
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