Question

对于给定首项x＞（a＞0），由递推公式x_n+1=（x_n+）（n∈N）得到数列{x_n}，对于任意的n∈N，都有x_n＞，用数列{x_n}可以计算的近似值．
（1）取x=5，a=100，计算x₁，x₂，x₃的值（精确到0.01）；归纳出x_n，x_n+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：x_n-x_n+1＜（x_n-1-x_n）；
（3）当x∈[5，10]时，用数列{x_n}计算的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，请你估计n，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；
（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；
（3）由题意，只要，由此可估计n的值．
解答：（1）解：∵x=5，a=100，x_n+1=（x_n+）
∴x₁=（5+）≈4.74
同理可得x₂≈4.67，x₃≈4.65
猜想x_n＞x_n+1；
（2）证明：x_n-x_n+1-（x_n-1-x_n）==
∵；
∴x_n-x_n+1==＞0
∴x_n＞x_n+1
∴；
（3）解：由（2）知＜…＜
由题意，只要，即2ⁿ＞10⁴（x-x₁）
∵
∴n＞=15.1
∴n=16．
点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．