Question

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（I）求f（x）的值域；
（II）将函数y=f（x）的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先根据三角函数变换公式进行化简，然后利用降幂公式和二倍角公式进行化简整理，最后用辅助角公式化成y=Asin（ωx+φ），最后根据正弦函数的单调性求出其值域即可．
（II）由题可知：g(x)=2sin(2(x-

π

6

)+

π

3

)=2sin2x，将2x看成整体，结合正弦函数y=sinz的单调区间，即可求出g（x）的单调递增区间．

解答：解：f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinx•cosx

=2sinxcosx+ 3 (cos2x-sin2x)…3′ =sin2x+ 3 cos2x=2sin(2x+ π 3 )…5′

（I）f（x）的值域为[-2，2]…（7分）
（II）由题可知：g(x)=2sin(2(x-

π

6

)+

π

3

)=2sin2x，…（9分）
∴2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，解得，kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

…（12分）
所以g（x）的单调递增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

](k∈Z)…（13分）

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性和值域，同时考查了计算能力和化简转化的能力，属于中档题．