Question

已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2）； 
（1）求圆C的方程．
（2）设点P（x，y）为圆C上的动点，求（x-2）²+y²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得到圆心在y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，联立求出圆心C坐标，利用两点间的距离公式求出r的值，即可确定出圆C的方程；
（2）法1：由圆C的方程变形代入所求式子化简，表示出Z=-4-6y，由y的范围即可确定出Z的范围；
法2：根据圆的方程设出参数方程，代入所求式子化简，根据sinα的值域即可确定出Z的范围．

解答：解：（1）根据题意知，圆心C在直线y=-3上，
由

y=-3 2x-y-7=0

，解得：

x=2 y=-3

，即圆心C（2，-3），
又r=|AC|=

5

，
则所求圆的方程为：（x-2）²+（y+3）²=5；
（2）法1：由圆C方程：（x-2）²+（y+3）²=5知：Z=（x-2）²+y²=5-（y+3）²+y²=-4-6y，
由圆方程知：y∈[-3-

5

，-3+

5

]，即-4-6y∈[14-6

5

，14+6

5

]，
则Z∈[14-6

5

，14+6

5

]；
法2：由圆C的方程为：（x-2）²+（y+3）²=5，
设P（x，y），可得

x=2+ 5 cosα y=-3+ 5 sinα

（α为参数，α∈[0，2π]），
代入Z=（x-2）²+y²化简得：Z=14-6

5

sinα，
∵|sinα|≤1，
∴Z∈[14-6

5

，14+6

5

]．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，圆的参数方程，正弦函数的定义域与值域，弄清题意是解本题的关键．