Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，且椭圆上一点到点的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】试题分析：（1）由离心率及可得关于的方程，由此可简化椭圆方程，设，则可表示为的函数，据此可求得其最大值，解得，即可求出椭圆的方程；（2）设， ， ， 的方程为，与椭圆联立方程消掉得关于的一元二次方程，由得，由韦达定理及可用表示出点的坐标，代入椭圆方程得，再由弦长公式及可得，即可求出实数的取值范围.

试题解析：（1）∵

∴，则椭圆方程为，即

设，则

当时， 有最大值为，

解得

∴，椭圆方程是

（2）设， ， ， 的方程为，

由，整理得

由，得

， ，

∴，

则，

由点在椭圆上，得

化简得①

又由，即

，将， 代入得

，

化简，得，

则

∴②

由①，得，

联立②，解得

∴或