Question

（2013•闸北区一模）若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若cn=

4n-1，当n为奇数时 4n+9，当n为偶数时.

则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的第8项c₈、第9项c₉以及前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知把n=8，n=9分别代入数列的通项可求c₈，c₉，然后结合等差数列的求和公式可求T₉
（2）由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），两式相减可知a_n+2-a_n=2，结合n的奇偶及等差数列的通项公式可求
（3）法一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇数项，31各偶数项，分组结合等差数列的求和公式可求S₆₃，然后结合已知不等式可求a的范围
法二：当n为偶数时，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1），然后各式相加可求S_n，而S₆₃=S₆₂+a₆₃
代入可求S₆₃，然后结合已知不等式可求a的范围

解答：解：（1）c₈=41，c₉=35（2分）
T9=

(3+35)×5

2

+

(17+41)×4

2

=216．（4分）
（2）∵a_n+a_n+1=2n①a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2．
所以，{a_n}为公差为2的准等差数列．                                （2分）
当n为奇数时，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；                        （2分）
当n为偶数时，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，（2分）
∴an=

n+a-1，(n为奇数) n-a，(n为偶数)

（3）解一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇数项，31各偶数项，
所以，S63=32a+

32×31

2

×2+31(2-a)+

31×30

2

×2=a+1984．（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
解二：当n为偶数时，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1）
将上面各式相加，得Sn=

1

2

n2．
∵S63=S62+a63=

1

2

×622+63+a-1=a+1984（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）

点评：本题主要考查了等差 数列的通项公式的应用，以新定义为载体考查了数列的递推公式的应用，及等差数列的求和公式的综合应用．