Question

已知函数f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx．
（1）若对任意的实数a，函数f（x）与g（x）的图象在x=x₀处的切线斜率总相等，求x₀的值；
（2）若a＞0，对任意x＞0，不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，分别求出f（x）和g（x）在x=x₀处的切线的斜率，则有f′（x₀）=g′（x₀）对任意实数a总成立，从而列出关于x₀的方程，求解即可得答案；
（2）将不等式f（x）-g（x）≥1等价表示为ax+

a-1

x

-lnx≥1，令h（x）=ax+

a-1

x

-lnx，求出导函数，利用导函数的正负，确定函数h（x）的单调性，判断出h（x）的取值范围，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx，
∴f′（x）=a+

1-a

x2

，g′（x）=

1

x

，
由题设知x₀＞0，且f′（x₀）=g′（x₀），即a+

1-a

x02

=

1

x0

，
∴a

x

2 0

-x₀+1-a=0，即a（

x

2 0

-1）+（1-x₀）=0
∵上式对任意实数a恒成立，
∴

x 2 0 -1=0 1-x0=0

，解得x₀=1，
故x₀=1；
（2）∵f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx，
∴f（x）-g（x）≥1，即ax+

a-1

x

-lnx≥1，
令h（x）=ax+

a-1

x

-lnx，则h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
又h′（x）=a+

1-a

x2

-

1

x

=

ax2-x+1-a

x2

=

a(x+1- 1 a )(x-1)

x2

（x＞0，a＞0），
①若0＜a≤

1

2

，则-1+

1

a

＞1，
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，
则h（x）在（0，1）单调递增，
∴h（x）＜h（1）=2a-1≤0，
这与h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，
故0＜a≤

1

2

不符合题意；
②若

1

2

＜a＜1，则0＜-1+

1

a

＜1，
∴当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
则h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=2a-1，
而h（1）=2a-1＜1，
这与h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，
故

1

2

＜a＜1不符合题意；
③若a≥1，则-1+

1

a

≤0，
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=2a-1≥1，即h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1符合题意．
综合①②③，实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的恒成立问题．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．