Question

20．已知函数f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x，在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围（　　）$．

• A． [-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{6}$]
• B． （0，$\frac{1}{6}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$）
• D． （-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范围．

解答 解：∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，
而f′（x）=4（x-1）（3ax²+3ax-1），
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
则 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{g（-\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$或a=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-1≤0}\\{6a-1≤0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{3a}{4}-1≤0}\end{array}\right.$或a=0
∴-$\frac{4}{3}$≤a≤$\frac{1}{6}$，
故选：A．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．