Question

（2011•黑龙江一模）已知不等式x²-6x+a（6-a）＜0的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为

[1，2）∪（4，5]

．

Answer 1

分析：讨论a的与3的大小，从而求出不等式的解集，根据解集中肯定有元素3，然后讨论三个整数的可能性，分别求出a的取值范围即可．

解答：解：∵x²-6x+a（6-a）＜0
∴（x-a）[x-（6-a）]＜0
当a＜3时，解集为（a，6-a），6-a＞3，则解集中肯定有3，
若三个整数是1，2，3时0≤a＜1且3＜6-a≤4，无解
若三个整数是2，3，4时1≤a＜2且4＜6-a≤5，解得1≤a＜2
若三个整数是3，4，5时2≤a＜3且5＜6-a≤6，无解
当a＞3时，解集为（6-a，a），6-a＜3，则解集中肯定有3，
若三个整数是1，2，3时0≤6-a＜1且3＜a≤4，无解
若三个整数是2，3，4时1≤6-a＜2且4＜a≤5，解得4＜a≤5
若三个整数是3，4，5时2≤6-a＜3且5＜a≤6，无解
综上所述a∈[1，2）∪（4，5]
故答案为：[1，2）∪（4，5]

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想以及逆向思维的能力，属于中档题．