Question

设向量a，b满足：|a|=3，|b|=4，a•b=0．以|a|，|b|，|a+b|为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

 

个．

Answer 1

分析：根据|a|=3，|b|=4，a•b=0．得到|a+b|的值，知道三角形是边长为3、4、5，构成直角三角形，和这个直角三角形内切的圆半径为1，此时有三个交点，圆的半径不变，改变位置，最多有四个交点．

解答：解：∵|a|=3，|b|=4，a•b=0
可得|a+b|=

a2+b2+2a•b

=5，
设该三角形内切圆的半径为r，
则（4-r）+（3-r）=5?r=1，
∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍作移动，则能实现4个交点，但不能得到5个以上的交点．

点评：向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象．