Question

如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是    ．
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值．

Answer 1

【答案】分析：根据已知结合等腰三角形三线合一，线面垂直及面面垂直的判定定理，可证得平面ABC⊥平面A′GF，进而根据面面垂直的性质可判断①；由A′与A，F两点重合时，BC?平面A′DE可判断②；当平面ABC⊥平面A′DE时，三棱锥A′-FED的高取最大值，三棱锥A′-FED的体积取最大值，可判断③．
解答：解：∵等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，
∴G为AF和DE的中点，且AF⊥DE于G点
则△A′DE与△FDE均为等边三角形，
∴A′G⊥DE且FG⊥DE
又∵A′G∩FG=G，A′G，FG?平面A′GF
∴DE⊥平面A′GF
又由DE?平面ABC
∴平面ABC⊥平面A′GF
故动点A′在平面ABC上的射影在两个平面的交线线段AF上；故①正确
由BC∥DE，当BC?平面A′DE，即A′与A，F两点不重合时，BC∥平面A′DE；
但A′与A，F两点重合时，BC?平面A′DE；故②错误
当平面ABC⊥平面A′DE时，三棱锥A′-FED的高取最大值，三棱锥A′-FED的体积取最大值．故③正确
故正确的命题有①③
故答案为：①③
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与平面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定与性质，棱锥的体积，难度不大，属于基础题．