Question

已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切.

(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；

(2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)如图，设M为动圆圆心，F(2,0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N，

由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线，

所以动圆圆心轨迹C的方程为y²＝8x.

(2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)，

由，得y²－8ky＋16k＝0，

Δ＝(－8k)²－4×16k＞0，解得k＜0或k＞1.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝8k，y₁y₂＝16k，

由·＝0，得x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即k²(y₁－2)(y₂－2)＋y₁y₂＝0，

整理得：(k²＋1)y₁y₂－2k²(y₁＋y₂)＋4k²＝0，

代入得16k(k²＋1)－2k²·8k＋4k²＝0，

即16k＋4k²＝0，

解得k＝－4或k＝0(舍去)，

所以直线l存在，其方程为x＋4y－8＝0.