Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）问：是否存在过点的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦为直径的圆过点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直线或

【解析】

（1）根据椭圆的离心率公式及椭圆过点A,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程；

（2）讨论直线l的斜率不存在,求得C,D的坐标,可得符合题意；设直线的斜率存在,设为,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,由以为直径的圆过定点,可得,由向量的数量积的坐标表示,解方程可得所求斜率,即可判断存在性.

（1）由题意过点,则,

∵椭圆的离心率,则,,

∴椭圆的标准方程：

当直线l的斜率不存在时,直线l即为y轴,

此时C,D为椭圆C的短轴端点,以为直径的圆经过点；

当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,由,

得,

所以.

设,,则

而,

因为以为直径的圆过定点,

所以,则,即.

所以.②

将①式代入②式整理解得.满足.

综上可知,存在直线或,使得以为直径的圆经过点.