Question

10、已知a₁，a₂，a₃，…，a₈为各项都大于零的数列，则“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列”的（　　）

A、充分且必要条件

B、充分但非必要条件

C、必要但非充分条件

D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a₁+a₈）-（a₄+a₅），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a₁+a₈＞a₄+a₅一定成立，反之若a₁+a₈＜a₄+a₅，则a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列，推断出条件的充分性；若a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列，a₁+a₈＜a₄+a₅，不一定成立，综合答案可得．

解答：解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，
（a₁+a₈）-（a₄+a₅）
=a₁[（1+q⁷）-（q³+q⁴）]
=a₁[（q³-1）（q⁴-1）]
当0＜q＜1，时
（q³-1）＜0，（q⁴-1）＜0
∴a₁[（q³-1）（q⁴-1）]＞0
当q＞1，时
（q³-1）＞0，（q⁴-1）＞0
∴a₁[（q³-1）（q⁴-1）]＞0
所以a₁+a₈＞a₄+a₅，
故若a₁+a₈＜a₄+a₅，则a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列，
若a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列，a₁+a₈＜a₄+a₅，不一定成立，
故“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列”的充分非必要条件．
故选B

点评：本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．