[题目]已知椭圆为其左右焦点.为其上下顶点.四边形的面积为.点为椭圆上任意一点.以为圆心的圆(记为圆)总经过坐标原点.(1)求椭圆的长轴的最小值.并确定此时椭圆的方程,中确定的椭圆.若给定圆.则圆和圆的公共弦的长是否为定值?如果是.求的值,如果不是.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.

（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；

（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.

【答案】（1）长轴的最小值为，此时椭圆的方程为；（2）2.

【解析】

（1）利用四边形的面积求得，利用基本不等式求得的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出点坐标，代入椭圆方程，得到点两个坐标的关系式.求得圆的方程和圆的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长为定值.

解：（1）依题意四边形的面积为

因为长轴当且仅当时取“”

此时

故长轴的最小值为，此时椭圆的方程为

（2）设点为椭圆上任意一点，则.

圆的方程为：，

两式作差得公共弦方程为：，

所以弦心距

则弦长，所以圆和动圆的公共弦长为定值.

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	支持	反对	合计
不足35岁	20
35岁以上			30
合计		25	55

（1）请完成上面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为市民对郑汴合并的态度与年龄有关？

（2）在上述样木中用分层抽样的方法，从攴持郑汴合并的两组市民中随机抽取6人作进一步调查，从这6人中任选2人，求恰有1位“不足35岁”的市民和1位“35岁及以上”的市民的概率．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.814	5.024		7.879	10.828

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