Question

【题目】已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2令x=y=0，

f（0）=f（0）f（0）﹣f（0）﹣f（0）+2

∴f2（0）﹣3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1

若 f（0）=1

则 f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）﹣f（1）﹣f（0）+2=1，

与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2

设x＜0，则﹣x＞0，那么f（﹣x）＞2

又2=f（0）=f（x﹣x）=f（x）f（﹣x）﹣f（x）﹣f（﹣x）+2

∴

∵f（﹣x）＞2

，∴ ，从而1＜f（x）＜2

（2）解：函数f（x）在R上是增函数

设x1＜x2则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2

f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2

=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2

∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）﹣1＞0，又f（x2﹣x1）＞2

∴f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]＞2f（x1）﹣2

f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2＞f（x1）

即f（x2）＞f（x1）

∴函数f（x）在R上是增函数

（3）解：∵由（2）函数f（x）在R上是增函数

∴函数y=f（x）﹣k在R上也是增函数

若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减

则x∈（﹣∞，0）时，g（x）=|f（x）﹣k|=k﹣f（x）

即x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，

∵x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2

【解析】（1）f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2中，令x=y=0，再验证即可求出f（0）=2．设x＜0，则﹣x＞0，利用 结合x＞0时，f（x）＞2，再证明．（2）设x1＜x2 ， 将f（x2）转化成f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2，得出了f（x2）与f（x1）关系表达式，
且有f（x2﹣x1）＞2，可以证明其单调性．（3）结合（2）分析出x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，k大于 f（x）的最大值即可．