【题目】已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x+y)=f(x)f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2令x=y=0,
f(0)=f(0)f(0)﹣f(0)﹣f(0)+2
∴f2(0)﹣3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)﹣f(1)﹣f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2
设x<0,则﹣x>0,那么f(﹣x)>2
又2=f(0)=f(x﹣x)=f(x)f(﹣x)﹣f(x)﹣f(﹣x)+2
∴
∵f(﹣x)>2
,∴ ,从而1<f(x)<2
(2)解:函数f(x)在R上是增函数
设x1<x2则x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>2
f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2
=f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)﹣1>0,又f(x2﹣x1)>2
∴f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]>2f(x1)﹣2
f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2>f(x1)
即f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在R上是增函数
(3)解:∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)﹣k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减
则x∈(﹣∞,0)时,g(x)=|f(x)﹣k|=k﹣f(x)
即x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0,
∵x∈(﹣∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2
【解析】(1)f(x+y)=f(x)f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2中,令x=y=0,再验证即可求出f(0)=2.设x<0,则﹣x>0,利用 结合x>0时,f(x)>2,再证明.(2)设x1<x2 , 将f(x2)转化成f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2=f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2,得出了f(x2)与f(x1)关系表达式,
且有f(x2﹣x1)>2,可以证明其单调性.(3)结合(2)分析出x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0,k大于 f(x)的最大值即可.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,
.
边分别在
轴.
轴的正半轴上,
点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使
点落在线段
上。
(1)若折痕所在直线的斜率为,试求折痕所在直线的方程;
(2)当时,求折痕长的最大值;
(3)当时,折痕为线段
,设
,试求
的最大值。
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的三边,a2﹣(b﹣c)2=bc,
(1)求角A;
(2)若BC=2 ,角B等于x,周长为y,求函数y=f(x)的取值范围.
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【题目】高二某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,第二组
,…,第五组
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数(精确到0.1);
(2)从成绩介于和
两组的人中任取2人,求两人分布来自不同组的概率.
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【题目】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求几何体ABD-A1B1C1的体积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点p(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA、OB为邻边做平行四边形OABC,问是否存在常数k,使得平行四边形OABC为矩形?请说明理由.
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