Question

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A₁、MA₂M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C₁方程为x²+y²=a²，当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（-a

1+m

，0），F₂（a

1+m

，0），假设在C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，的充要条件为

x02+y02=a2① 1 2 2a 1+m |y0|=|m|a2  ②

，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF₁NF₂的值．

解答：解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得kMA1•kMA2=

y

x-a

•

y

x+a

=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

 =1，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C₁方程为x²+y²=a²，
当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（-a

1+m

，0），F₂（a

1+m

，0），
对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，
的充要条件为

x02+y02=a2① 1 2 2a 1+m |y0|=|m|a2  ②

由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=

|m|a

1+m

，
当0＜

|m|a

1+m

≤a，即

1- 5

2

≤m＜0，或0＜m≤

1+ 5

2

时，
存在点N，使S=|m|a²，
当

|m|a

1+m

＞a，即-1＜m＜

1- 5

2

，或m＞

1+ 5

2

时，不存在满足条件的点N．
当m∈[

1- 5

2

，0）∪（0，

1+ 5

2

]时，由

NF1

=（-a

1+m

-x₀，-y₀），

NF2

=（a

1+m

-x₀，-y₀），
可得

NF1

•

NF2

=x₀²-（1+m）a²+y₀²=-ma²．
令|

NF1

|=r₁，|

NF2

|=r₂，∠F₁NF₂=θ，
则由

NF1

•

NF2

=r₁r₂cosθ=-ma²，可得r₁r₂=-

ma2

cosθ

，
从而s=

1

2

r₁r₂sinθ=-

ma2sinθ

2cosθ

=-

1

2

ma2tanθ，于是由S=|m|a²，
可得-

1

2

ma2tanθ=|m|a²，即tanθ=-

2|m|

m

，
综上可得：当m∈[

1- 5

2

，0）时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=2；
当m∈（0，

1+ 5

2

]时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=-2；
当(-1，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)时，不存在满足条件的点N．

点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．