Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(   )

A．AB₁∥平面BDC₁

B．A₁C⊥平面BDC₁

C．直三棱柱的体积V＝4

D．直三棱柱的外接球的表面积为4π

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

试题分析：由三视图可知，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧面B₁C₁CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2，连B₁C交BC₁于O，连接OD，在△CAB₁中，O，D分别是B₁C，AC的中点，∴OD∥AB₁，而AB₁⊄平面BDC₁，OD⊂平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC_1，A对；直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA₁⊥BD，∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C①，又A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，∴A₁B₁⊥B₁C，在正方形B₁C₁CB中，BC₁⊥B₁C，∵B₁C，A₁B₁⊂平面A₁B₁C，B₁C∩A₁B₁⊂=B₁，∴B₁C⊥平面A₁B₁C，∴B₁C⊥A₁C②,由①②，又BD∩BC₁=B，BD，BC₁⊂平面BDC₁，∴A₁C⊥平面BDC₁ ,B对；，C对；直三棱柱的外接球的半径为所在正方体的体对角线的一半，即，故直三棱柱的外接球的表面积为，D错.故选D.

考点：1.三视图；2.直线与平面平行的判定；3.直线与平面垂直的判定