Question

16．数列{a_n}中，a₁=2，a₂=-1，${a}_{n}^{2}$=a_n+1•a_n-1（n≥2），则a_n=$（-1）^{n-1}•\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 通过${a}_{n}^{2}$=a_n+1•a_n-1（n≥2）可知数列{a_n}为等比数列，进而可知数列{a_n}是以2为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵${a}_{n}^{2}$=a_n+1•a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，即数列{a_n}为等比数列，
又∵a₁=2，a₂=-1，
∴q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以2为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$2•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-1）^{n-1}•\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
故答案为：$（-1）^{n-1}•\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．