Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=2a_n+2可得a_n+1+2=2（a_n+2），可证
解（2）由（I）可得an=3•2n-1-2，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求

解答：（I）证明：∵a_n+1=2a_n+2
∴a_n+1+2=2（a_n+2）
∵a₁=1
∴a₁+2=3
∴数列{a_n+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列；
（2）解：由（I）可得an+2=3•2n-1
∴an=3•2n-1-2
∴T_n=（3•2⁰-2）+（3•2¹-2）+…+（3•2^n-1-2）
=3（1+2+2²+…+2^n-1）-2n
=3•

1-2n

1-2

-2n
=3•2ⁿ-2n-3．

点评：本题主要考查了利益构造证明等比数列，等比数列的定义及求和公式的应用，还要注意分组求和方法的应用．