Question

第一行是等差数列0，1，2，3，…，2006，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2007行．

（1）求证：第1行至第2006行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列a₁，a₂也称等差数列）；
（2）各行的公差组成数列{d_i}（i=1，2，3，…，2006）．求通项公式d_i；
（3）各行的第一个数组成数列{a_j}（j=1，2，3，…，2006），求通项公式a_j；
（4）求2007行的这个数．

Answer 1

分析：（1）记a_i•j表示第i行第j列的项．由已知知第1行是等差数列；推出第2行满足a_{3•（k+1）}-a_3•k=4是等差数列，类比推出第1行至第2006行各行都构成等差数列；
（2）通过d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k}=2d_i，即可求出通项公式d_i；
（3）利用a_j+1=a_j+a_j•2=a_j+a_j+d_j=2a_j+2^j-1，推出数列{

aj

2j

}是等差数列，然后求通项公式a_j；
（4）利用（3）直接求2007行的这个数．

解答：解：（1）记a_i•j表示第i行第j列的项．由已知知第1行是等差数列；a_{2•（k+1）}-a_2•k=a_{1•（k+1）}+a_{1•（k+2）}-（a_1•k+a_{1•（k+1）}）=a_{1•（k+2）}-a_1•k=2，
所以第2行数列是等差数列．a_{3•（k+1）}-a_3•k=a_{2•（k+1）}+a_{2•（k+2）}-（a_2•k+a_{2•（k+1）}）=a_{2•（k+2）}-a_2•k=4，
所以第3行数列是等差数列．
同理可证，第4，5，…，都是等差数列．
（2）d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k}=a_{i•（k+1）}+a_{i•（k+2）}-a_i•k-a_{i•（k+1）}=a_{i•（k+2）}-a_i•k=2d_i，
∴

di+1

di

=2，则{d_i}是等差数列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（3）a_j+1=a_j+a_j•2=a_j+a_j+d_j=2a_j+2^j-1，
∴

aj+1

2j+1

=

aj

2j

+

1

4

．
∴数列{

aj

2j

}是等差数列，

aj

2j

=

1

4

(j-1)，
所以aj=

1

4

•(j-1)•2j=(j-1)•2j-2．
（4）由（3）a_j=（j-1）•2^j-2可知a₂₀₀₇=2006•2²⁰⁰⁵．

点评：本题是中档题，考查数列的有关知识，证明数列是等差数列，数列的递推关系式的应用，数列与函数的综合应用，考查计算能力．