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【题目】在△ABC 中,角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且asin Acos C+csin AcosA= c
(1)若c=1,sin C= ,求△ABC的面积S
(2)若D 是AC的中点且cosB= ,BD= ,求△ABC的最短边的边长.

【答案】
(1)解:由正弦定理可知: = = =2R,

则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

∴sinAsinAcosC+sinCsinAcosA= sinC,

则sinAsin(A+C)= sinC,

∴sinAsinB= sinC,则sinA× = ×

∴bsinA=

△ABC的面积S,S= ×bcsinA= ×1× =

△ABC的面积S=


(2)解:由cosB= ,可得sinB=

∵C=π﹣(A+B),

∴3sinA= sin(A+B),则sinA=cosA,得tanA=1,

∴A= ,则c2+ b2 bc=26,

∵sinA× = sinC,且sinB× = sinC,

∴c= a,b= c= a,

a2+ a2 a2=26,

∴解得:a=2

∴b=2 ,c=6,

∴△ABC的最短边的边长为2


【解析】(1)利用正弦定理求得sinAsinB= sinC,即bsinA= ,根据三角形的面积公式,即可求得△ABC的面积S;(2)由同角三角函数基本关系式可求sinB,结合已知可求A,利用正弦定理,余弦定理可求三边长,即可得解.

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