Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），则a的值为

3

．

Answer 1

分析：依题意，f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x+a-1(x≤-1) 1+a(-1＜x＜a) 2x+1-a(x≥a)

，利用f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），即可求得a的值．

解答：解：∵a＞0，故f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x+a-1(x≤-1) 1+a(-1＜x＜a) 2x+1-a(x≥a)

，
∴当x≤-1时，解-2x+a-1≥6得：x≤

-7+a

2

；
当-1＜x＜a时，f（x）=1+a；
当x≥a时，解2x+1-a≥6得：x≥

5+a

2

；
又f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴

-7+a

2

=-2且

5+a

2

=4且1+a∈[4，+∞），
解得a=3．
故答案为：3．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）中的绝对值符号是关键，考查运算能力，属于难题．