Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，则数列{a_n}的前20项的和为（　　）

• A、3×2¹¹-3
• B、3×2¹¹-1
• C、3×2¹⁰-2
• D、3×2¹⁰-5

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前20项的和．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，
∴a₂=

2

1

=2，an-1an=2n-1，n≥2，
∴

anan+1

an-1an

=

an+1

an-1

=2，
∴则数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，
偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
∴前20项的和为：
S₂₀=

1-210

1-2

+

2(2-210)

1-2

=3×2¹⁰-5．
故选：D．

点评：本题考查数列的前20项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．