Question

已知O为坐标原点，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（

AO

+

AF

）•

OF

=0，则双曲线的离心率e为（　　）

• A．2
• B．3
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：先画出图形，如图，设OF的中点为C，则

AO

+

AF

=

1

2

AC

，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．

解答：解：如图，设OF的中点为C，则

AO

+

AF

=

1

2

AC

，
由题意得，

1

2

AC

•

OF

=0，∴AC⊥OF，
∴AC=AF，
又AF=OF，
∴△AOF是正三角形，∴∠AOF=60°，
即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，∴

b

a

=tan60°，b=

3

a，
则双曲线的离心率e为

c

a

=

a2+b2

a

=2．
故选A．

点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（

AO

+

AF

）•

OF

=0的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．