Question

由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G，求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项．

Answer 1

分析：要证明EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项，即证EG²=EA•EB=ED•EF，分析积等式中的线段所在的位置，发现EG为直角△AGB的斜边AB上的高，由射影定理，我们易得，EG²=EA•EB，再根据直角△AEF∽直角△DEB，根据相似三角形的性质，我们可以得到对应边成比例，然后利用等量代换的思想，即可得到结论．

解答：证明：连接GA、GB，
则△AGB也是一个直角三角形，
因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，
所以，EG为EA和EB的比例中项，
即EG²=EA•EB
∵∠AFE=∠ABC，
∴直角△AEF∽直角△DEB，

EA

EF

=

ED

EB

即EA•EB=ED•EF．
又∵EG²=EA•EB，
∴EG²=ED•EF（等量代换），
故EG也是ED和EF的比例中项．

点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．