Question

（2011•嘉定区三模）已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

 ， 

b

2

]．则下列函数中，是集合M中的元素有

（3）（4）

（将所有符合条件的序号都填上）．
（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；（3）f（x）=log₂x；（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，x∈（-2，2）．

Answer 1

分析：（1）函数在定义域内是偶函数，故不单调；
（2）f（x）=2^xR上是单调函数，但不存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

 ， 

b

2

]，故不是属于M；
（3）f（x）=log₂x在（0，+∞）上单调增，若属于M，则

log2a= a 2 log2b= b 2

，即log2x=

x

2

在（0，+∞）上有两解，从而可判断；
（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，在x∈（-2，2）是单调增函数，若属于M，tan

π

4

x=x在（-2，2）上有两解，而函数为奇函数，从而可判断．

解答：解：（1）函数在定义域内是偶函数，故不单调，故（1）不是属于M；
（2）f（x）=2^xR上是单调函数，但不存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

 ， 

b

2

]，故不是属于M；
（3）f（x）=log₂x在（0，+∞）上单调增，若属于M，则

log2a= a 2 log2b= b 2

，即log2x=

x

2

在（0，+∞）上有两解，利用导数可知成立，故是属于M；
（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，在x∈（-2，2）是单调增函数，若属于M，tan

π

4

x=x在（-2，2）上有两解，而函数为奇函数，故存在，是属于M．
故答案为（3）（4）

点评：题是一道带新定义的探究性的题目，在做这一类型题时，关键点是弄清题目中的新定义，并会用它来解题．考查集合的包含关系、函数的定义域、值域问题，同时考查数形结合思想、等价转化思想和利用所学知识分析问题、解决问题的能力．