【题目】如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.
(1)当为中点时,,求证:面
(2)当为中点时,是否存在,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在求出M的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在,
【解析】
(1)法一:建立空间直角坐标系,找坐标,利用直线的方向向量与平面的法向量垂直,证明即可.法二:取BP的中点E,连接,,则,根据线面平行的判定定理证明即可.
(2)假设存在点M,根据,求点M的坐标,求平面的法向量为,根据,求解,即可.
(1)方法一:证明:因为平面,,平面.
所以.
又,所以,,两两垂直.
分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则,.
显然平面的法向量为,则
又不在平面内,所以平面.
方法二:取的中点,连接,
由为的中点,可知
在平面四边形中,
即,所以,即
由已知得
所以,四边形是平行四边形,所以
因为平面,平面
所以平面
(2)假设存在点M使得与平面所成角的正弦值为
则,所以
为中点,则,即
设平面的法向量为
∴,不妨设,则
∴
设线面角为,则
解得或1(舍去)
∴时,直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】选修4— 4:坐标系与参数方程
设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,原点为极点,轴正半轴为极轴,曲线的参数方程为(是参数),直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和直线的参数方程;
(Ⅱ)设点,若直线与曲线相交于两点,且,求的值﹒
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【题目】已知三个村庄A,B,C构成一个三角形,且AB=5千米,BC=12千米,AC=13千米.为了方便市民生活,现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市,则M到A,B,C的距离都不小于2千米的概率为
A. B. C. D.
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【题目】已知数列满足:,(),数列满足:,(),数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)求证:数列是递增数列;若当且仅当时,取得最小值,求的取值范围.
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【题目】给出四个命题:①若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2;②若x=y=0,则x2+y2=0;③已知x,y∈N,若x+y是奇数,则x、y中一个是奇数,一个是偶数;④若x1,x2是方程x2﹣2x+2=0的两根,则x1,x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率,那么( )
A.③的否命题为假B.①的逆否命题为假
C.②的逆命题为真D.④的逆否命题为假
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为梯形,,,,平面ABCD.
求BE与平面EAC所成角的正弦值;
线段BE上是否存在点M,使平面平面DFM?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某机构对A市居民手机内安装的“APP”(英文Application的缩写,一般指手机软件)的个数和用途进行调研,在使用智能手机的居民中随机抽取了100人,获得了他们手机内安装APP的个数,整理得到如图所示频率分布直方图:
(Ⅰ)从A市随机抽取一名使用智能手机的居民,试估计该居民手机内安装APP的个数不低于30的概率;
(Ⅱ)从A市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研,用X表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数.
①求随机变量X的分布列及数学期望;
②用Y1表示这3人中安装APP个数低于20的人数,用Y2表示这3人中手机内安装APP的个数不低于40的人数.试比较EY1和EY2的大小.(只需写出结论)
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