Question

已知实数，且按某种顺序排列成等差数列．
（1）求实数的值；
（2）若等差数列的首项和公差都为，等比数列的首项和公比都为，数列和的前项和分别为，且，求满足条件的自然数的最大值．

Answer 1

(1)   (2)14

（1）解法一：由已知三个数有：， 不妨设排列成递增的等差数列，则
①若依次成等差数列，则有解得，符合题意；
②若依次成等差数列，则有解得，由不符合题意；
综上得.
解法二：分三种情况讨论：
①若为等差中项，则有解得，符合题意；
②若为等差中项，则有解得，由不符合题意；
③若为等差中项，则有，即，方程无解；……6分
综上得.（2）解：由（1）知，，
 ，
由已知可得，即,
即，又，故的最大值为14．