分析 (1)化简条件可得2sinAsinC=$\frac{3}{2}$,再由b2=ac求得2sin2B=$\frac{3}{2}$.根据b不是最大边,可得B为锐角,从而求得B的值.
(2)由条件可得 $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$,cosA+cosC=2cosB=1,求得 A=C=$\frac{π}{3}$,可得三角形为等边三角形.
解答 解:(1)∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$,
∴2sinAsinC=$\frac{3}{2}$.
又∵b2=ac⇒sin2B=sinAsinC,
∴2sin2B=$\frac{3}{2}$.
而a,b,c成等比数列,所以b不是最大,故B为锐角,所以B=60°.
(2)由$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$,可得 $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$,
所以cosA+cosC=2cosB=1,又因为A+C=$\frac{2π}{3}$,∴A=C=$\frac{π}{3}$,
所以三角形ABC是等边三角形,
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用,属于中档题.
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A. | (17,49] | B. | [9,49] | C. | (17,41] | D. | [9,41] |
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