精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
13.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足:cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$,且a、b、c成等比数列.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$,a=2,判断三角形形状.

分析 (1)化简条件可得2sinAsinC=$\frac{3}{2}$,再由b2=ac求得2sin2B=$\frac{3}{2}$.根据b不是最大边,可得B为锐角,从而求得B的值.
(2)由条件可得 $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$,cosA+cosC=2cosB=1,求得 A=C=$\frac{π}{3}$,可得三角形为等边三角形.

解答 解:(1)∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$,
∴2sinAsinC=$\frac{3}{2}$.
又∵b2=ac⇒sin2B=sinAsinC,
∴2sin2B=$\frac{3}{2}$.
而a,b,c成等比数列,所以b不是最大,故B为锐角,所以B=60°.
(2)由$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$,可得  $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$,
所以cosA+cosC=2cosB=1,又因为A+C=$\frac{2π}{3}$,∴A=C=$\frac{π}{3}$,
所以三角形ABC是等边三角形,

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.设P(x,y)是曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数,0≤θ<2π)上任意一点,
(1)将曲线化为普通方程;
(2)求$\frac{y}{x}$的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.求下列两个集合的并集和交集
(1)A={a,b,c},B={a,c,e,f};
(2)A={x|x>-2},B={x|x≤3};
(3)A={y|y=x2-2x},B={x|y=-x2}.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.log${\;}_{\frac{1}{2}}$[log3(x-2)]=0,则x=5.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

8.已知log2(x+y)=log2x+log2y,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=1,则x2+y2的最小值为8.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn-an+1=2Sn-1+an-1(n≥2,n∈N*).
(1)证明:数列{2an-1}是等差数列;
(2)若a1=1,a3=3,bn=$\frac{36}{(2{a}_{n+1}+1)(2{a}_{n}+1)}$,求数列{bn}的前n项和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立,a,b满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f({a}^{2}-6a+23)+f({b}^{2}-8b)≤0}\\{f(b+1)>f(5)}\end{array}\right.$,那么a2+b2的取值范围是(  )
A.(17,49]B.[9,49]C.(17,41]D.[9,41]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知函数f(lg(x+1))的定义域[0,9],求函数f($\frac{x}{2}$)的定义域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.若定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,求使得f(x)<0的x的范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案