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已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1x2-x1
,其中a,x1,x2为常数,x1≠x2.设函数g(x)=f1(x)+mf2(x)-lnf3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
分析:(Ⅰ)根据f2(x)=x2f2'(x)=2x,可得2[ax1+(1-a)x2]  =
x22-x12
x2-x1
,化简可求a=
1
2

(Ⅱ)根据f1(x)=xf2(x)=x2f3(x)=x3,可得g(x)=mx2+x-3lnx(x>0).利用函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,可得该零点左右g′(x)同号,从而可得二次方程2mx2+x-3=0有相同实根,故可求m的值;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,a=
1
2
,k=g′(x)=2mx-
3
x
+1,k′=2m+
3
x2
3
x2
∈[12,+∞)
,分类讨论:①当-6≤m<0或m>0时,k′≥0恒成立,最大值为m-5;②当m<-6时,由k′=0,得x=
-
3
2m
,而0<
-
3
2m
1
2
,可得x=
-
3
2m
时,k取得最大值且最大值为1-2
-6m
解答:解:(Ⅰ)∵f2(x)=x2f2'(x)=2x
2[ax1+(1-a)x2]  =
x22-x12
x2-x1

∴(x1-x2)(2a-1)=0
∵x1≠x2,∴a=
1
2

(Ⅱ)∵f1(x)=xf2(x)=x2f3(x)=x3,∴g(x)=mx2+x-3lnx(x>0)
∴g′(x)=
2mx2+x-3
x

∵函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,
∴该零点左右g′(x)同号,
∵m≠0,∴二次方程2mx2+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-
1
24

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,a=
1
2
,k=g′(x)=2mx-
3
x
+1,k′=2m+
3
x2

∵x∈[0,
1
2
],∴
3
x2
∈[12,+∞)

∴①当-6≤m<0或m>0时,k′≥0恒成立,∴k=g′(x)在(0,
1
2
]上递增
∴当x=
1
2
时,k取得最大值,且最大值为m-5;
②当m<-6时,由k′=0,得x=
-
3
2m
,而0<
-
3
2m
1
2

若x∈(0,
-
3
2m
)
,则k′>0,k单调递增;
若x∈(
-
3
2m
1
2
)
,则k′<0,k单调递减;
故当x=
-
3
2m
时,k取得最大值且最大值为1-2
-6m

综上,kmax=
m-5,(-6≤m<0或m>0)
1-2
-6m
,(m<-6)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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)
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)
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