Question

15．对于正项数列{a_n}，记b_n=a₁+a₂+…+a_n，c_n=b₁b₂…b_n，且b_n+c_n=1，求{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 通过求出前几项的值猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明，裂项、并项相加即得结论．

解答 解：依题意，易知当n=1时a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
当n=2时，有：b₂=$\frac{1}{2}$+a₂，c₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+a₂）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a₂，
∵b₂+c₂=（$\frac{1}{2}$+a₂）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a₂）=1，
∴a₂=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$；
当n=3时，b₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+a₃=$\frac{2}{3}$+a₃，
c₃=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•（$\frac{2}{3}$+a₃）=$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{3}$a₃，
∵b₃+c₃=（$\frac{2}{3}$+a₃）+（$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{3}$a₃）=1，
∴a₃=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，
猜测：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k＞1）时有a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$，
则b_k=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$，c_k=$\frac{1}{k+1}$，
∴b_k+1=b_k+a_k+1=$\frac{k}{k+1}$+a_k+1，
c_k+1=c_k•b_k+1=$\frac{1}{k+1}$（$\frac{k}{k+1}$+a_k+1），
又∵b_k+1+c_k+1=1，
即$\frac{k}{k+1}$+a_k+1+$\frac{1}{k+1}$（$\frac{k}{k+1}$+a_k+1）=1，
整理得：$\frac{k+2}{k+1}$a_k+1=$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，
解得：a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
即当n=k+1时命题也成立；
由①、②可知，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．