Question

烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度，然后两者相加可得y关于x的函数．
（2）对（1）中函数进行求导，然后令导函数等于0求x的值，然后判断原函数的单调性进而可求得最小值．

解答：解：（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，
∴A在C处的烟尘浓度为

8k

x2

B在C处的烟尘浓度为

k

(3-x)2

．其中0＜x＜3．
从而处总的烟尘浓度为y=

8k

x2

+

k

(3-x)2

．（0＜x＜3）；
（2）由y′=-

16k

x3

+

2k

(3-x)3

=

18k(x-2)(x2-6x+12)

x3(3-x)3

=0，
解得x=2．
故当0＜x＜2时，y′＜0，原函数单调递减．当2＜x＜3时y′＞0，原函数单调递增．
∴x=2时，y取得极小值，且是最小值．
答：在连接西烟囱的线段AB上，距烟囱A处2km处的烟尘浓度最低．

点评：本题主要考查根据导数求函数的最值的问题．属基础题．