Question

将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中（每盒放球数不限），求：
（1）3个球放入同一个盒子的概率；
（2）3个盒子中都有球的概率；
（3）至少有一个盒子没球的概率；
（4）恰有一个盒子没有球的概率．

Answer 1

分析：由分步乘法原理可知，将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中，共有3³=27种放法，每种放法是等可能的．
（1）事件A“3个球放入同一个盒子”的放法有3种：3个球放入1号盒子，或2号盒子，或3号盒子．利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（2）事件B“3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球”，等价于每个盒子只放1个球，有

A

3 3

种方法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（3）事件C“3个球放入3个盒子，至少有一个盒子没球”与事件B是对立事件，利用对立事件的概率计算公式即可得出．
（4）事件D“3个球放入3个盒子，恰有一个盒子没有球”与事件D，A的关系是：C=D+A，并且事件D和A是互斥事件，利用互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答：解：由分步乘法原理可知，将完全相同的3个球随机地放入1，2，3号盒子中，共有3³=27种放法，每种放法是等可能的．
（1）记“3个球放入同一个盒子的概率”为事件A．
3个球放入同一个盒子的放法有3种：3个球放入1号盒子，或2号盒子，或3号盒子．
故P(A)=

3

27

=

1

9

．
（2）记“3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球”为事件B．
3个球放入3个盒子，每个盒子中都有球，等价于每个盒子只放1个球，有

A

3 3

=6种方法．
故P(B)=

6

27

=

2

9

．
（3）记“3个球放入3个盒子，至少有一个盒子没球”为事件C．
因为事件C是事件B的对立事件，所以P(C)=1-P(B)=1-

2

9

=

7

9

．
（Ⅳ）记“3个球放入3个盒子，恰有一个盒子没有球”为事件D．由题意可知，C=D+A．
因为事件D和A是互斥事件，所以P（C）=P（D）+P（A），P(D)=P(C)-P(A)=

7

9

-

1

9

=

2

3

．

点评：正确理解分步乘法原理、古典概型的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、全排列的意义是解题的关键．