Question

在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，M（1，-3），N（5，1）.若点C满足=t +（1-t）(t∈R).点C的轨道与抛物线y²=4x交于A、B两点.

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）在x轴正半轴上是否存在一定点P（m,0),使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）点C的轨道方程x-y-4=0,

    由y²-4x-16=0.

∴·=x₁x₂+y₁y₂=0.

∴⊥.

（Ⅱ）假设存在点P（m,0）.

    设过P的直线l：y=k(x-m),代入y²=4x得k²x²-2(k²m+2)x+m²k²=0.

∴x₁x₂=m²,

y₁y₂==-4m.

    设l交抛物线于D、E，线段DE的中点为F

∵|OF|=|DE|,

∴OD⊥OE,

∴x₁x₂+y₁y₂=0,

∴m²-4m=0,

∴m=4,

∴P(4,0).

    当斜率不存在时|OP|=4，|DE|=8，|OP|=1[]2|DE|，故存在点P（4，0）.