Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：DE⊥平面ABE；
（3）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，

AB平面CDE，CD平面CDE，

∴AB∥平面CDE

（2）证明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，DE平面CDE，

∴AE⊥CD，DE⊥AE，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，

∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．

∵DE平面ADE，∴CD⊥DE，

∵AB∥CD，∴DE⊥AB，

∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE

（3）解：∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，

∴AB⊥平面ADE，

∴三棱锥B﹣ADE的体积VB﹣ADE= = = ，

= = ，

设点A到平面BDE的距离为d，

∵VA﹣BDE=VB﹣ADE，∴ = ，解得d= ，

∴点A到平面BDE的距离为 ．

【解析】（1）推导出AB∥CD，由此能证明AB∥平面CDE．（2）推导出AE⊥CD，DE⊥AE，从而CD⊥DE，再由DE⊥AB，能证明DE⊥平面ABE．（3）由AB⊥平面ADE，能求出三棱锥B﹣ADE的体积．再由VA﹣BDE=VB﹣ADE，能求出点A到平面BDE的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．