Question

已知函数f（x）=（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设a_n=f（n）（n∈N^*），当t＞10，且t∉N^*时，试判断数列{a_n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述构造过程中，若x_i（i∈N^*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数t的值．

Answer 1

解：（1）当t=1时，f（x）==-1+．
图象如图：（2分）
基本性质：（每个2分）
奇偶性：既非奇函数又非偶函数；
单调性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分别递增；
零点：x=0；
最值：无最大、小值．（6分）
（2）a_n==-1+，
当1≤n≤[t]，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均大于-1，
当n≥[t]+1，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均小于-1，（8分）
因此，数列中的最大项为a_[t}=，（10分）
最小项为a_[t}+1=．（12分）
（3）由题意，函数f（x）==t在R中无实数解，
亦即当x≠t时，方程（1+t）x=t²+t-1无实数解．（14分）
由于x=t不是方程（1+t）x=t²+t-1的解，（16分）
因此对任意x∈R，使方程（1+t）x=t²+t-1无实数解，则t=-1为所求．（18分）
分析：（1）当t=1时，f（x）==-1+，画出函数的图象，利用图象可得函数的性质；
（2）a_n==-1+，确定1≤n≤[t]，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*时，数列单调递增，且此时a_n均小于-1，由此可得结论
（3）函数f（x）==t在R中无实数解，亦即当x≠t时，方程（1+t）x=t²+t-1无实数解，从而可得实数t的值．
点评：本题考查函数的图象与性质，考查函数的单调性，考查数列与函数的关系，考查方程解的研究，确定函数的单调性是关键．