Question

16．在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S₂₀₁₄等于（　　）

• A． 1007
• B． 1006
• C． 2010
• D． 2012

Answer 1

分析 先可判断数列{a_n}为等差数列，而根据$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，及三点A，B，C共线即可得出a₁+a₂₀₁₄=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S₂₀₁₄的值．

解答 解：由a_n+1=a_n+a得，a_n+1-a_n=a；
∴{a_n}为等差数列；
由$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，A，B，C三点共线；
∴a₁+a₂₀₁₄=1，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}×2014$=1007．
故选：A

点评 考查等差数列的定义，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，等差数列的通项公式，及等差数列的前n项和公式