Question

12．已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；
（Ⅱ） 求线段PQ长的最小值；
（Ⅲ） 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P点的轨迹方程；
（Ⅱ）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；
（Ⅲ） $|{OP}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}}=\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，故当$a=\frac{6}{5}$时，${|{OP}|_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$．此时，$b=-2a+3=\frac{3}{5}$，${R_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}-1$，即可求出半径最小的圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²．
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（Ⅱ）由2a+b-3=0，得b=-2a+3.$|{PQ}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}-1}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}-1}$=$\sqrt{5{a^2}-12a+8}$=$\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{4}{5}}$，
故当$a=\frac{6}{5}$时，${|{PQ}|_{min}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．即线段PQ长的最小值为$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
（Ⅲ）设圆P 的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，∴|R-1|≤|OP|≤R+1．即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1．
而$|{OP}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}}=\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，
故当$a=\frac{6}{5}$时，${|{OP}|_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$．
此时，$b=-2a+3=\frac{3}{5}$，${R_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}-1$．
得半径取最小值时圆P的方程为${（x-\frac{6}{5}）^2}+{（y-\frac{3}{5}）^2}={（\frac{3}{5}\sqrt{5}-1）^2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．