Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA₁与CC₁的中点，求四棱锥的A₁-EBFD₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：法一：判断四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形，连接A₁C₁、EF、BD₁，说明A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高，求出底面，高的大小，即可得到棱锥的体积．
法二：三棱锥A₁-EFB与三棱锥A₁-EFD₁等底同高，棱锥转化为2•••a，求解即可．
解答：解：法一：∵EB=BF=FD₁=D₁E==a，
∴四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
连接A₁C₁、EF、BD₁，则A₁C₁∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理，A₁C₁平行于A₁-EBFD₁的底面，
从而A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高（4分）
设G、H分别是A₁C₁、EF的中点，连接D₁G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD₁
根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD₁，
又，四棱锥A₁-EBFD₁的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，
有A₁-EBFD₁的底面⊥平面HGD₁．作GK⊥HD₁于K，
根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A₁-EBFD₁的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA₁CC₁垂直于底面A₁B₁C₁D₁，∴∠HGD₁=90°．
在Rt△HGD₁内，GD₁=a，HG=a，HD₁==a．
∴a•GK=a•a，从而GK=a．（8分）
∴=•GK=••EF•BD₁•GK
=•a•a•a=a³（10分）
解法二∵EB=BF=FD₁=D₁E==a，
∴四菱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
连接EF，则△EFB≌△EFD₁．
∵三棱锥A₁-EFB与三棱锥A₁-EFD₁等底同高，
∴．
∴．（4分）
又，
∴，（6分）
∵CC₁∥平面ABB₁A₁，
∴三棱锥F-EBA₁的高就是CC₁到
平面ABB₁A₁的距离，即棱长a．（8分）
又△EBA₁边EA₁上的高为a．
∴=2•••a=a³．（10分）
点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．