Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P。
（1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性质P？并说明理由；
（2）当n=1000时，
① 若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值。

Answer 1

解：（1）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}， B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P。
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b₁=10与b₂=10+ m，使得|b₁-b₂|=m成立
集合C={x∈A│x=3k-1，k∈N*）具有性质P
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1。
（2）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性质P
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因为SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，
所以TA
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S）中任取一对元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
则有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P。
②设集合S有k个元素，由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S）一定具有性质P
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设s中有t（t≥）个元素b₁，b₂，…，b_t不超过1000
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+mS
又b_i+m≤1000+1000=2000，
故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+≤k+t≤2000，
所以k+≤2000，得k≤1333，
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y₁，y₂，
都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S元素个数的最大值是1333。