Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁＞0，公差d＞0，前n项和为S_n，设m，n，p∈N^*，且m+n=2p
（1）求证：S_n+S_m≥2S_p；
（2）求证：S_n•S_m≤（S_p）²；
（3）若S1005=1，求证：

2009

n=1

1

Sn

≥2009．

Answer 1

分析：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，代入S_n+S_m，利用m+n=2p可证
（2）由等差数列前n项和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，代入S_nS_m，利用m+n=2p可证
（3）由（2）可得

Sp

Sm

≥

Sn

Sp

，从而有

2009

n=1

1

Sn

=

S1005

S1

+

S1005

S2

+

S1005

S2009

=

S2009

S1005

+

S2008

S1005

+

S1

S1005

，再利用（1）的结论可证．

解答：证明：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
∴S_n+S_m=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n+ 

d

2

m2+(a1-

d

2

)m=

d

2

(n2+m2)+( m+n)a1-

d

2

(m+n)≥2S_p

（2）S_nS_m=[

d

2

n2+(a1-

d

2

)n][

d

2

m2+(a1-

d

2

)m]≤

d2

4

p2+

d

2

(a1-

d

2

)p3+(a1-

d

2

)2p2，
∴S_nS_m≤（S_p）²

(3)

2009

n=1

1

Sn

=

S1005

S1

+

S1005

S2

+

S1005

S2009

=

S2009

S1005

+

S2008

S1005

+

S1

S1005

≥2009

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及不等式的基本性质，考查等价转化思想，属于中档题．