Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2， ）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|= ，
所以|PF1|= = ，即2a=|PF|+|PF1|=2 ，
即a2=6，b2=a2﹣c2=2，
故椭圆C的方程为 + =1；
（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，
设l：y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
可得x1+x2= ，
所以AB的中点N （ ， ），
由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （ ， ）．
由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，
解得k2= 或﹣ （舍），即k=± ．
故直线l的方程为y=± （x﹣2）．
【解析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|= ，运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．