Question

12．已知f（x）=1g（1+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^x•a），若f（x）在x∈（-∞，1]有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0得到知a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x恒成立，构造函数，判断函数的单调性，求出函数的最值．

解答 解：由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0
知a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x恒成立，
又∵y_i=（$\frac{i}{n}$）^x，i=1，2…n-1，是减函数，
∴y=（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x也是减函数，
∴在区间（-∞，1]上有y_min=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{n-1}{2}$＞a，
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{n-1}{2}$）．

点评 本题考查了恒成立问题，关键是分离参数，构造函数，求最值，属于中档题．