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12.已知f(x)=1g(1+2x+3x+…+(n-1)x+nx•a),若f(x)在x∈(-∞,1]有意义,求a的取值范围.

分析 由1+2x+3x+…+(n-1)x-nxa>0得到知a<($\frac{1}{n}$)x+($\frac{2}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x恒成立,构造函数,判断函数的单调性,求出函数的最值.

解答 解:由1+2x+3x+…+(n-1)x-nxa>0
知a<($\frac{1}{n}$)x+($\frac{2}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x恒成立,
又∵yi=($\frac{i}{n}$)x,i=1,2…n-1,是减函数,
∴y=($\frac{1}{n}$)x+($\frac{2}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x也是减函数,
∴在区间(-∞,1]上有ymin=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{n-1}{2}$>a,
∴a的取值范围是(-∞,$\frac{n-1}{2}$).

点评 本题考查了恒成立问题,关键是分离参数,构造函数,求最值,属于中档题.

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A.$\sqrt{6}$f($\frac{π}{6}$)$<\sqrt{3}$f($\frac{π}{4}$)$<\sqrt{2}$f($\frac{2π}{3}$)B.$\sqrt{6}$f($\frac{π}{6}$)$<\sqrt{2}$f($\frac{2π}{3}$)$<\sqrt{3}$f($\frac{π}{4}$)C.$\sqrt{2}$f($\frac{2π}{3}$)$<\sqrt{3}$f($\frac{π}{4}$)<$\sqrt{6}$f($\frac{π}{6}$)D.$\sqrt{3}$f($\frac{π}{4}$)<$\sqrt{6}$f($\frac{π}{6}$)$\sqrt{2}$f($\frac{2π}{3}$)

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