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【题目】已知动圆过定点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过点且斜率不为零的直线交曲线 两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当定点为时,常数为;当定点为时,常数为

【解析】试题分析:(Ⅰ)设动圆的半径为,则可得,从而可得结果;(Ⅱ)依题意可设直线的方程为 ,联立直线方程与椭圆方程,假设存在定点,根据韦达定理, ,由可得结论.

试题解析:(Ⅰ)设动圆的半径为

知点在圆内,则有

从而

所以的轨迹是以 为焦点,长轴长为4的椭圆,

设曲线的方程为,则

所以

故曲线的轨迹方程为

(Ⅱ)依题意可设直线的方程为

所以

假设存在定点,使得直线 的斜率之积为非零常数,则

所以

要使为非零常数,当且仅当解得

时,常数为

时,常数为

所以存在两个定点,使直线 的斜率之积为常数,当定点为时,常数为;当定点为时,常数为

【方法点晴】本题主要考查待定义法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题,属于难题.解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在,注意:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法题很难时采取另外的途径.

练习册系列答案
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(1)根据茎叶图中的数据完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响?

及格(

不及格

合计

很少使用手机

经常使用手机

合计

(2)从50人中,选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙,解一道数列题,甲、乙独立解决此题的概率分别为 ,若,则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”,记为两人中解决此题的人数,若,问两人是否适合结为“师徒”?

参考公式及数据: ,其中.

<>0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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学生编号

1

2

3

4

5

6

语文成绩

60

70

74

90

94

110

历史成绩

58

63

75

79

81

88

(Ⅰ)若规定语文成绩不低于90分为优秀,历史成绩不低于80分为优秀,以频率作概率,分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数;

(Ⅱ)用表中数据画出散点图易发现历史成绩与语文成绩具有较强的线性相关关系,求的线性回归方程(系数精确到0.1).

参考公式:回归直线方程是,其中

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