Question

已知函数f（x）=x²+ax+b²，分别在下列条件下求不等式f（x）＞0的解集为R的概率．
（1）a，b∈Z，且-2≤a≤4，-2≤b≤4；
（2）若a，b∈R，且0＜a≤2，0＜b≤2．

Answer 1

【答案】分析：（1）本小题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字，共有49种结果，满足条件的事件是不等式f（x）＞0的解集为R，即a²＜4b²，列举出所有的事件数，根据等可能事件的概率得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（0，2]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是求不等式f（x）＞0的解集为R，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．
解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字，共有49种结果，
满足条件的事件是求不等式f（x）＞0的解集为R，
即a²＜4b²，
当b=-2，2，3，4时，a有7种；
当b=-1，1时，a有5种；
当b=0时，a有1种；
共有39种结果，
∴所求的概率是
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是在区间[0，2]上任取两个数a和b，
事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}
对应的面积是s_Ω=4
满足条件的事件是关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，
即a²-4b²≤0，
∴a≤2b，
事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a≤2b}
对应的图形的面积是s_A=3
∴根据等可能事件的概率得到P=
故答案为：．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查一元二次方程的解，考查列举法的应用，是一个综合题目，本题解题的关键是弄清楚一元二次方程解的情况．本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．