Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，现沿AC折成二面角D-AC-B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）当a为何值时，二面角D-AC-B为45°．

Answer 1

分析：（1）要证平面ABD⊥平面ABC，只需证明平面ABC内的直线BC，垂直平面ABD内的两条相交直线BD、AB即可；
（2）说明∠DFE为二面角D-AC-B的平面角，利用二面角D-AC-B为45°，然后解三角形求出a的值即可．

解答：（1）证明：由题知BC⊥BD，又BC⊥AB，
∴BC⊥面ABD，
∴面ABC⊥面ABD、
（2）解：作DE⊥AB于E，
由（1）知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，连DF，则DF⊥AC，
∴∠DFE为二面角D-AC-B的平面角，
即∠DFE=45°．EF=DE=

2

2

DF，
∵DF=

a

a2+1

，AF=

a2

a2+1

且

EF

AF

=

BC

AB

，
解得a²=

2

2

，a=

4 8

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，是中档题．