Question

如图，命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”．
（1）写出上述命题的逆否命题并判断其真假；
（2）写出上述命题的逆命题，判断其真假并证明．

Answer 1

分析：根据四周命题之间的关系写出命题的逆否命题和逆命题，然后判断真假．

解答：解：（1）命题的逆否命题为：命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a不垂直c，则a不垂直b”．
∵c是直线b在π上的投影，
∴若a⊥b，则a垂直b，c所在的平面，
∴a⊥c，
∴原命题正确，∴逆否命题也正确．
（2）命题的逆否命题为：命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，
若a⊥c，则a⊥b”．
∵c是直线b在π上的投影，∴过直线b上任意一点A做AB⊥c，则AB⊥平面π
∴AB⊥a，
∴若a⊥c，则a垂直b，c所在的平面，
∴a⊥b，
∴逆命题正确．

点评：本题主要考查四种命题之间的关系，以及四种命题之间的真假判断．